圆的相切与二次曲线

----与两定圆相切的动圆圆心轨迹的探索

新疆和静高级中学   雷恒拴

在学习圆锥曲线时，我们知道，与内含的两个定圆C₁、C₂中的内圆C₁外切,并与外圆C₂内切的动圆C的圆心的轨迹是以圆心C₁、C₂为焦点的椭圆.

下面我们就两定圆的不同位置情况进行研究：为了运算方便，取两定圆的半径r₁、r₂（r₁≠r₂），两定圆圆心的中点为坐标原点，建立坐标系.

1、两定圆相离

设两定圆圆心为 C₁（-c,0）、C₂（c,0），  半径分别为r₁、r₂（ r₁≠r₂ ），动圆圆心为C（x,y）. 则

⊙C₁：（x＋c）²＋y²＝r₁²，  ⊙C₂：（x－c）²＋y²＝r₂².

（1）、当圆C与圆C_1、C₂都外切时，设切点分别为A、B，则|CA|＝|CB|

 因为 |C A|=|C C₁|－r₁，|CB|=|C C₂|－r₂，|C A|=|CB|，

当r₁＞r₂时，|C C₁|＞|C C₂|，即x＞0，点C的轨迹为双曲线的右支；

当r₁＜r₂时，|C C₁|＜|C C₂|，即x＜0，点C的轨迹为双曲线的左支；

所以点C的轨迹为双曲线.

（当r₁=r₂时，|C C₁|=|C C₂|，点C的轨迹为线段C₁ C₂的垂直平分线，即y轴）.

（2）、当圆C与圆C_1、C₂都内切时，设切点分别为A、B，则|CA|＝|CB|

当r₁＞r₂时，|C C₁|＜|C C₂|，即x＜0，点C的轨迹为双曲线的左支；

当r₁＜r₂时，|C C₁|＞|C C₂|，即x＞0，点C的轨迹为双曲线的右支；

所以点C的轨迹为双曲线.

（3）、当圆C与圆C₁外切、与C₂内切时，设切点分别为A、B，

则|CA|＝|CB|，且|C C₁|＞|C C₂|

∵⊙C₁与⊙C₂相离，

∴2c＞r₁＋r₂ ，4c²－（r₁＋r₂）²＞0,

所以方程为双曲线的一支.

即：当圆C与圆C₁外切、与C₂内切时，点C的轨迹为双曲线的右支；

（4）、当圆C与圆C₁内切、与C₂外切时，设切点分别为A、B，

则|CA|＝|CB|，|C C₁|＜|C C₂| ，即 x＜0

同理可求，点C的轨迹方程为双曲线的左支；所以点C的轨迹为双曲线。

由（1）、（2）、（3）、（4）知：若两定圆⊙C₁与⊙C₂相离，当动圆C与定圆C_1、C₂都外切或都内切时，动圆圆心C的轨迹方程是相同的，圆心C的轨迹是同一条双曲线；当动圆C与定圆C_1、C₂其中一个内切，而与另一个外切时，圆心C的轨迹分别是同一条双曲线的两支。即：

当两定圆⊙C₁与⊙C₂相离时，只要动圆C与定圆C_1、C₂同时相切，那么，动圆圆心C的轨迹就是以点C_1、C₂为焦点的双曲线。

2、两定圆外切

当两定圆⊙C₁与⊙C₂外切时，在两定圆相离的（1）中，

∵|CA|=|CC₁|＋r₁，|CB|=|CC₂|＋r₂，|CA|＝|CB|，

∴|C C₁|＋r₁=|C C₂|＋r₂    

∴|C C₁|－|C C₂|= r₂－r_{1            （1）}

在两定圆相离的（2）中

∵|CA|=|CC₁|－r₁，|CB|=|CC₂|－r₂，|CA|＝|CB|，

∴|C C₁|－r₁=|C C₂|－r₂   

∴|C C₁|－|C C₂|= r₁－ r_{2           （2）}

由（1）和（2），都有||C C₁|－|C C₂||=| r₁－r₂| ，

 且| r₁－r₂|为定值，所以动圆圆心C的轨迹是以定点C_1、C₂为焦点的双曲线。

3、两定圆相交

两定圆相交时，动圆与两相交定圆同时相切的位置关系有如下三种情况：

（1）、与两相交定圆同时外切；

（2）、同时内切与两相交定圆；

（3）、与两相交定圆同时内切。

   动圆圆心C的轨迹可以分三种情况分别求得，三个轨迹合成一条双曲线。

   所以，动圆与两相交定圆同时相切时，动圆圆心C的轨迹仍是以定点C_1、C₂为焦点的双曲线（或其中一个部分）。

4、两定圆内切或两定圆内含

 如本文开始所述，当两定圆内切或两定圆内含时，动圆C的圆心的轨迹是以定圆圆心C₁、C₂为焦点的椭圆或一条射线（两定圆内切时特殊情况（与两定圆都外切时）为一条射线）。

综上所述，与两定圆相切的动圆圆心的轨迹一定是圆锥曲线（特殊情况除外，即：轨迹是圆或直线或直线的一部分）.反之，椭圆或双曲线是否都能从圆的相切得到呢？答案是肯定的. 从上面的探索可知，只要确定适当的定圆，建立适当的坐标系，都可以得到相应的椭圆或双曲线.  即椭圆或双曲线都能够从圆的相切得到.

（因为图片无法粘贴证明过程有所删减，请谅解）