完美的自然数

__自然数“金字塔”之谜（三）

新疆和静高级中学   雷恒拴

       一次偶然的机会，一个初一学生的偶然发现，使我们对自然数有了进一步的认识。 自然数按下列规则排列：

（1）          1                       （2）                1   2

            2  3  4                                      3  4   5   6

         5  6  7  8  9                                7  8  9  10  11  12

         …   …   …   …                                  …   …   …   …

（3）       1   2   3                  （4）           1   2   3   4            

        4   5   6   7   8                          5   6   7   8   9  10

    9  10  11  12  13  14  15                 11  12  13  14  15  16  17  18  

     …    …    …   … …  …                    …    …     …     …    …    …  

 (5)                              

                                  1   2   3   4   5

                               6  7   8   9  10  11  12

                          13  14 15  16  17  18  19  20  21

                          …    …     …     …     …    …   …

     我们把这种排列叫作自然数金字塔。把它排在第一行的数字个数 作为它的代码。在自然数金字

塔（1）—（5）中，我们把其中的每一行分为左、右两个部分，记左边各数字与中间一个数字的和为

S₁，右边各数字的和为S₂； （1）、（3）、（5）的每一行，S₂－S₁ 所得的差分别为－1、0和3；而

在（2）和（4）的第 n行中，S₂－S₁ 所得的差分别为  n²  和(n+1)²,它们与所在的行 n有关。

    这些自然数金字塔，从排列的形式特点看，不但有特殊的数学美，而且各有自己的性质。对于任

意自然数金字塔（m），是否都有类似的性质呢？答案是肯定的。我们把m分为偶数与奇数两种情况进

行研究。

    性质一：当m为偶数时，自然数金字塔的每行数字可以分为左、右个数相等的两个部分，

右边各数字的和S₂ ,减去左边各数字的和S₁ 所得的差是一个完全平方数，这个完全平方数

与它的代码 m 及行数 n 有关。  即 ： S₂－S₁＝（m/2＋n－1）²   。

    证明：因为 m是偶数，且后一行总比前一行多两个数字，所以,第 n行有[m+2(n－1)]个数字，

左、右两边各为（m/2＋n－1）个，记第一个数字为   a₁，那么最后一个数字为：  a_{m＋2（n-1）}。

则左边各数字为 ：  a₁、    a ₂  ,     …  …   …     ,   a _m/2＋n－1；

右边各数字为:  a _m/2＋n ,    a _m/2＋n＋1 ,    … … …   ,    a _m＋2(n－1)  。

 令  a₁＝p＋1，   则第 n行为：

     p+1,  p+2,   … …  ， p+ + n－1；  p+ +n  , … … ,  p+m+2(n－1)。

          S₁＝（p＋1）＋（p＋2）＋…  …＋（p＋m/2＋n－1）

            ＝1/2*(m/2＋n－1) (2p＋m/2＋n)  。

          S₂＝（p+m/2+n）+（p+m/2+n+1）+…+（p+m+2n－2）

            ＝1/2*（m/2＋n－1）（2p＋3*m/2＋3n－2）。

     S₂－S₁＝1/2*(m/2+n－1) (2p+3*m/2+3n－2)－1/2*(m/2+n－1) (2p+m/2+n)

           ＝(m/2＋n－1) ²  。

    性质二：当m为奇数时,自然数金字塔(m)第n行的中间一个数与左边各数的和S₁减去

它右边各数的和S₂ ,所得的差与代码m、所在行数n及第一个数字p有关。即：

    S₁－S₂＝p－((m-1)/2＋n－1)²  。

     证明：因为m为奇数, (m)的第n行有m+2(n－1)个数,设第一个数为p,   则中间一个数为

p+(m-1)/2+n－1,最后一个数是p+m+2(n－1)－1。第 n行为：

       p,    p+1,  … …，p+(m-1)/2+n－1,  p+(m-1)/2+n,  …  … ,  p+m+2(n－1)－1。

        S₁＝p＋（p＋1）＋ …  … ＋(p＋(m-1)/2＋n－1)

          ＝p＋1/2*(m-1)/2＋n－1) (2p＋(m-1)/2＋n)  。

        S₂＝(p+(m-1)/2+n)+( p+(m-1)/2+n+1)+…+[p+m+2(n－1)－1]

          ＝1/2*((m-1)/2＋n－1)  (2p＋(m-1)/2＋3n＋m－3)  。

    S₁－S₂＝p－((m-1)/2＋n－1)²  。

     然而对性质二,我们还可以得到更一般的结论。

     性质三：当m为奇数时，自然数金字塔（m）每一行右边各数的和S₂ , 减去中间一个数

与左边各数的和S₁ 所得的差是一个常数。即    

     S₂－S₁＝1/4* (m²－2m－3) ＝1/4*(m－1)²－1   （这里只与代码m有关)。

     证明：由于（m）各行所排列的数字个数是一个公差为d＝2的等差数列，

             a₁  ,  a₂   ,  …  …  ,   a_n ,… …

这个数列的第一项  a₁＝m正是第一行排列数字的个数m,那么,第n行排列的数字个数就是

       a_n＝a₁＋（n－1）d   ＝m＋2（n－1）。

前 n行自然数的个数正是这个数列前n项的和S_n  。

    又因为自然数的排列序号就是自然数本身，所以第 n行排列的最后一个数也是S_n 。 由

        S_n＝a_1· n＋1/2*n（n－1）d